§ 7. Почему звонит колокол, или внутреннее трение в металлах

В замечательном романе Э. Хемингуэя "По ком звонит колокол", конечно, не рассматривается вопрос, почему он звонит. Автора и читателей волнуют другие проблемы. Да собственно, в вопросе о том, почему звонит колокол, нет особой загадки. Удар язычка о стенки колокола вызывает колебания колокола, а затем и звуковую волну определенной частоты, которая воспринимается барабанными перепонками ушей. Интересен другой вопрос. Почему так долго звучит колокол после каждого удара язычка? Или, почему так долго не затухают в нем колебания? Здесь мы вернемся к примеру с маятником. Если прикрепить к маятнику снизу карандаш, а под ним с постоянной скоростью пустить бумажную ленту перпендикулярно плоскости качания, то карандаш нарисует известную всем кривую, изображенную на рис. 21. Колебания маятника постепенно затухают в результате действия внешних сил сопротивления (трения о воздух, о бумагу и пр.). Затухание колебаний есть не что иное, как процесс релаксации - постепенного приближения к равновесию, из которого был выведен маятник. Закон изменения амплитуды колебаний маятника со временем (пунктирная кривая на рис. 21) определяется формулой:

Это знаменитая экспонента - показательная функция с основанием, равным основанию натурального логарифма, которая управляет многими процессами в природе. В написанном выражении А₀ - начальная амплитуда колебаний маятника, t - время, а В - константа, обратная величина которой называется временем релаксации. В начальный момент (t = 0) амплитуда А - А₀, а через промежуток времени, равный 1/В, она уменьшится в е раз. Хотя полное равновесие в принципе достигается лишь при t = ∞ (А = 0), доля релаксационных изменений, происходящих за время 1/B, считается достаточно "львиной".

Рис. 21

Экспоненциальной зависимости от времени подчиняется и величина деформации в ходе релаксационного процесса, иллюстрированного рис. 20. Если изобразить это в координатах деформация - время, то получится такая картина (рис. 22). На участке релаксации недостающая часть деформации (недостающая до равновесного значения ε_р) уменьшается по тому же закону, что и амплитуда маятника.

Рис. 22

Колебания маятника затухают, как уже было сказано, из-за действия внешних сил трения. Если нам удалось бы устранить их, то маятник качался бы вечно. Если же мы возбудим колебания металлического предмета (скажем, возьмем металлическую линейку, зажмем один ее конец, а другой отведем в сторону и отпустим), то они будут затухать даже в самом кромешном вакууме и при полном отсутствии внешних источников трения. Причина затухания - наличие внутреннего трения в металлах, образование петли на диаграмме деформации вследствие протекания релаксационных процессов. Картина, изображенная на рис. 20, качественно не изменяется, если вместо цикла нагружение - разгрузка мы имеем дело с циклом растяжение - сжатие, т. е. если напряжения и деформации циклически меняют знак. В примере с линейкой будет именно такая ситуация: она будет изгибаться то в одну, то в другую сторону, но это не спасает от появления замкнутой петли на диаграмме σ - ε (рис. 23).

Рис. 23

Здесь речь уже может идти об амплитуде изменения напряжения и деформации, и аналогия с маятником еще более наглядна. С течением времени уменьшается амплитуда свободных колебаний. Соответственно уменьшается и площадь заштрихованной петли, поэтому в каждом следующем цикле амплитуда изменяется все меньше. Таково свойство экспоненциальной функции: если ее показатель положителен, то она возрастает все быстрее (снежный ком), а если отрицателен, то она уменьшается с затухающей скоростью. Чем меньше отклонение от равновесия, тем медленней система приближается к нему (рис. 21).

Скорость затухания колебаний или время релаксации характеризуется площадью петли в первом цикле, а она, в свою очередь, зависит от источника релаксации, действие которого ответственно за появление внутреннего трения.

Существует несколько различных мер внутреннего трения, которые отличаются численными коэффициентами. Одна из них - отношение энергии, потерянной за один цикл колебаний, к полной энергии цикла, т. е. отношение площади петли к площади прямоугольника со сторонами 2σ и 2ε, окружающего петлю (он показан на рис. 23 пунктиром). При термоупругом затухании, о котором идет речь, это отношение порядка 1 : 10⁴, и соответственно внутреннее трение порядка 10^-4, так что петля на рис. 23 изображена в искаженном масштабе.

Однако существуют и значительно более мощные источники релаксации, которые создают внутреннее трение порядка 10^-1. Теперь уже легко ответить на вопрос, из какого материала нужно делать колокол, а из какого станину тяжелого молота или другую амортизирующую деталь или конструкцию. В первом случае надо взять материал, в котором в максимальной степени подавлены все источники релаксации, материал с минимальным внутренним трением. К таким относится, например, твердый и хрупкий сплав меди с 25% олова, который дает хорошее, длительное звучание. Сплав той же меди с 25 - 30% марганца обладает огромным внутренним трением. Его так и называют - "немой сплав", он совсем не звучит, так как в первых же нескольких циклах колебания практически полностью гасятся из-за действия особых внутренних источников рассеяния энергии, о которых мы поговорим позже.

Более дешевым материалом с меньшим, но достаточно высоким внутренним трением, является чугун. Станины крупных станков и кузнечных молотов отливают из чугуна, в частности, по этой причине. Если бы материал станин плохо поглощал звук, в цехах стоял бы невообразимый шум, которого не вынесли бы даже тренированные уши звонаря.

Рис. 24

В случае рассмотренного теплового релаксационного процесса время релаксации определяется теплопроводностью материала и некоторыми другими его физическими свойствами. Допустим, что частота колебаний будет очень высокая (а ее мы можем регулировать, меняя, например, длину свободной части линейки - так скрипач регулирует высоту звука, меняя свободную длину струны). Тогда за время одного полуцикла колебаний еще не успеет начаться процесс выравнивания температуры, как напряжение уже поменяет знак. В каждый данный момент связь между напряжением и деформацией будет определяться нерелаксированным модулем Е_н (рис. 20), а петля на рис. 23 выродится в прямую линию с наклоном α₁ (см. рис. 20). В этом предельном случае внутреннего трения нет.

Наоборот, если частота колебаний очень низка, в ходе нагружения, разгрузки и в другом полуцикле все время будет успевать устанавливаться тепловое равновесие, и мы получим прямую с наклоном α₂. Внутреннего трения снова нет.

Рис. 25

Отсюда понятно, что внутреннее трение как функция частоты колебаний будет нарастать, достигать максимума и затем спадать (рис. 25). Максимальное внутреннее трение возникает тогда, когда время одного цикла будет совпадать со временем релаксации данного процесса, ответственного за рассеяние энергии.

Таким образом, максимальному затуханию соответствует условие ω/В = ωτ_р = 1, где ω - частота колебаний, τ_р - время релаксации.

С одной стороны, это уточняет требования к материалу колоколов и других звучащих изделий. Для них со известна - это собственная частота колебаний, которая зависит от свойств материала (модуля Юнга, плотности) и от геометрии изделия. Значит, надо блокировать не все источники релаксации, а лишь те, для которых τ_р близко к 1/ω.

С другой стороны, внутреннее трение сравнительно легко определяется экспериментально методом измерения скорости затухания свободных колебаний и некоторыми другими способами в диапазоне частот от сколь угодно низких до мегагерцевых (миллионы циклов в секунду). Это дает в руки физиков мощный инструмент исследования разнообразных внутренних процессов в металлах. Об одном интересном примере мы расскажем в следующем параграфе.