§ 1. Закон Гука, а модуль - Юнга

Английский физик, архитектор и инженер Роберт Гук, член Лондонского Королевского общества, интересовался свойствами упругости металлов в связи с проблемой создания пружинных часов, которые были очень нужны современным ему корабелам. Используемые в те времена маятниковые часы работали ненадежно, проблема стояла остро. Ею занимался, в том числе, и знаменитый голландец Гюйгенс, изобретатель маятниковых часов, создатель волновой теории света и автор многих других блестящих работ в области физики, математики и астрономии. Между Гуком и Гюйгенсом шел спор о праве считаться создателем пружинных часов.

Рис. 11

Результаты своих измерений Гук опубликовал в 1676 г. в виде анаграммы из латинских букв: ceiiinosssttuu. В анаграмме буквы расставлены по алфавиту, ко если расположить их в правильном порядке, известном только автору, то должна получиться фраза, выражающая суть дела. Так зашифровывали в те времена свои открытия, если не было полной уверенности в их достоверности. Этим как бы делалась заявка на приоритет на случай, если кто-нибудь вдруг опередит автора. Гук три года спустя, убедившись в своей правоте, опубликовал расшифровку анаграммы. Краткая формулировка его закона на латыни записывается так: "Ut tensio sic uis", что в переводе означает: "Каково удлинение, такова и сила".

Между прочим, с этими анаграммами и борьбой за приоритет в те времена происходили подчас комичные истории. Так, Гюйгенс, впервые увидев в телескоп кольцо Сатурна, тоже опубликовал свое открытие в виде анаграммы. Один из околонаучных ловкачей занимавшихся вместо кропотливых изысканий расшифровкой опубликованных анаграмм, сумел "прочесть" запись Гюйгенса, решив, что она относится к спутникам Марса. Получилось: "Привет вам, близнецы, Марса порожденье". Какой же был конфуз, когда Гюйгенс, проверив свои наблюдения, сам расшифровал свою анаграмму: из тех же букв (тоже на латыни) составилась фраза: "кольцом окружен тонким, плоским, нигде не прикасающимся, к эклиптике наклоненным".

Но вернемся к закону Гука. Каково удлинение, такова и сила. На современном, более строгом, но и более скучном языке это означает, что удлинение тела прямо пропорционально действующей на него растягивающей силе. Несомненно Гук знал, что его утверждение относится к случаю, когда поперечное сечение растягиваемого тела и его исходная длина остаются постоянными. Более длинные стержни давали, конечно, большее удлинение. Он знал также, что при постоянной величине силы вызываемое ею удлинение стержня обратно пропорционально площади его поперечного сечения, и, кроме того, что у стержней одинакового сечения и длины из разных материалов при одном и том же усилии будет разное удлинение. Однако Гук не сумел скомбинировать результаты своих экспериментов в такой форме, чтобы охарактеризовать упругость как свойство самого материала, не зависящее от размеров и формы конструкции. Оставался всего один шаг до привычной нам формулировки закона упругости, и этот шаг был сделан английским ученым Томасом Юнгом лишь более 100 лет спустя - в самом конце XVIII века.

Юнг понял, что если удлинение Δl прямо пропорционально силе F и исходной длине l₀ и обратно пропорционально площади сечения S растягиваемого стержня, то это можно выразить простой формулой

или

Теперь ясно, что слева от знака равенства записано напряжение σ, а справа - относительное удлинение ε. Итак,

причем, коэффициент пропорциональности в этой формуле - константа Е - получил название модуль Юнга. Численно модуль Юнга, очевидно, равен напряжению, которое вызывает упругую деформацию, равную 1 или 100%. Но, если вспомнить, что относительная деформация ξ = Δl/l₀, то окажется, что ε = 100% соответствует удвоению исходной длины.

Такие большие упругие деформации выдерживает резина, но ни один металл их выдержать не может. При гораздо меньших деформациях металлов они начинают либо деформироваться пластически, т. е. не возвращаются в исходное состояние, либо разрушаются. Мы увидим далее, что чисто упругая деформация металлов не превышает обычно нескольких десятых долей процента, поэтому Е - это напряжение, которое вызвало бы удвоение длины стержня, если бы можно было получить такую огромную упругую деформацию.

Закон Гука справедлив и для случая упругой сдвиговой деформации γ, которую вызывает касательное напряжение τ (рис. 8):

Здесь фигурирует уже другая константа G, которую называют модулем сдвига, а величина γ обычно мала.

Модули упругости Е и G связаны между собой (G ≈ 3/8 E) и являются такими же фундаментальными константами материала, как, например, температура плавления. Модуль упругости характеризует силы межатомного взаимодействия. Чем больше угол наклона к горизонтальной оси кривой, изображенной на рис. 9, вблизи точки равновесия, тем мощнее наши пружинки, тем сильнее они сопротивляются смещениям атомов от исходных позиций.

Чтобы получить представление о том, какое напряжение потребовалось бы для упругого удвоения длины разных материалов, а заодно сопоставить их упругие свойства, заглянем в табл. 1, где сведены значения модуля Юнга некоторых металлов и неметаллов.

Таблица 1

Из таблицы видно, что если бы, например, стальная проволочка поперечным сечением 1 мм² могла выдержать, не разрушаясь, упругую деформацию ε = 100%, то на ней можно было бы подвесить огромный 20-тонный самосвал. К сожалению, эта картинка далека от реальности. Теоретическая оценка прочности на разрыв, как мы увидим в гл. 5, дает значение разрушающегося напряжения в 5 - 10 раз меньшее модуля Юнга, а фактическая прочность используемых в технике металлов еще меньше - в сотни, а иногда в тысячи раз.

Хотя это обстоятельство сильно огорчает нас, справедливости ради надо признать, что ни Гук, ни его закон" ни даже Юнг в этом не виноваты. Более того, благодаря их исследованиям мы теперь не задумываясь рисуем первый участок диаграммы, описывающей механические свойства металлов - так называемой диаграммы деформации.